Lógica Proposicional “For Dummies”

Noções de lógica: introdução

A filosofia é uma atividade crítica que examina as nossas ideias mais básicas recorrendo fundamentalmente ao pensamento. Para isso, na atividade filosófica começa-se pelos problemas, depois tenta-se responder a estes problemas com teorias e sustenta-se estas teorias com razões ou argumentos. Ora, como as teorias não nascem nas árvores nem caem do céu, precisamos de descobri-las e fundamentá-las através da argumentação. Através dos argumentos os filósofos apresentam razões a favor das suas ideias ou teorias. Isto é relevante, pois para defenderem que as suas ideias são as que respondem de forma mais razoável a um determinado problema filosófico têm que apresentar razões para isso e submeter tais razões e argumentos à avaliação crítica e discussão pública para se analisar se tais argumentos são realmente plausíveis ou não. Um argumento pode ser definido como “um conjunto de proposições que utilizamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A proposição que queremos justificar tem o nome de conclusão; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justificam têm o nome de premissas” (cf. António Padrão). Uma proposição é o pensamento que determinadas frases declarativas (não todas) podem literalmente exprimir. Assim, se questionarmos “que dia é hoje?” ou se exclamarmos “fecha a porta!” não estamos perante proposições. Só estamos diante de proposições quando temos uma frase declarativa com valor de verdade, ou seja, suscetível de ser verdadeira ou falsa. E é preciso ainda atender que existem argumentos bons e outros maus. Por este motivo a lógica surge como um instrumento fundamental para analisarmos se estamos diante de um argumento válido ou inválido. Este é um exemplo de um argumento que pode surgir em qualquer linguagem natural:

Parece que Deus não existe; pois, “os animais e os seres humanos sofrem (em resultado de processos naturais, como doenças e acidentes) e causam sofrimento uns aos outros (magoamo-nos e ferimo-nos uns aos outros e matamo-nos uns aos outros à fome). O mundo contém, pois, muito mal. Um deus omnipotente poderia ter evitado este mal – e sem dúvida que um deus sumamente bom e omnipotente o teria feito. Mas então, por que razão existe este mal? Não será a sua existência um forte indício contra a existência de Deus?” (Swinburne [1996] Será Que Deus existe? Lisboa: Gradiva, p. 109).

Mas para se discutir mais facilmente as teorias e argumentos da filosofia é conveniente fazer a reconstituição dos argumentos que surgem naturalmente ao longo de um texto tornando-os mais explícitos e formulando-os na sua representação canónica. Isto é muito útil para se poder discutir proficientemente os argumentos, uma vez que fica claro quais são as premissas e qual é a conclusão. Para isso é necessário sabermos identificar as premissas, as conclusões e os seus indicadores, os entimemas, bem como deve saber eliminar o ruído (que não contribui em nada para o argumento e para a sua validade), etc. Sem esta reconstituição ativa de argumentos pode-se correr o risco de não se discutir proficuamente os argumentos, podendo-se igualmente cair num mero comentário de textos mas sem haver o tal exame crítico tão característico da filosofia. Este é um exemplo de um argumento, canonicamente representado, que constitui um sério desafio para a crença no Deus teísta:

  1. Se Deus existe, então não pode existir mal no mundo.
  2. Ora, existe mal no mundo.
  3. Logo, Deus não existe.

Será este argumento dedutivamente válido? A validade dedutiva, que depende unicamente da forma lógica, ocorre quando é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Ou seja, se supusermos que as premissas de um argumento dedutivo válido são verdadeiras, a sua conclusão não poderá ser falsa. Uma boa sugestão para analisar a validade ou invalidade de um argumento dedutivo pode ser a seguinte: “Mesmo que as premissas do argumento não sejam verdadeiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido” (cf. António Padrão). Por exemplo: Sócrates e Platão eram filósofos; logo, Sócrates era filósofo. Este é um argumento válido, pois não é possível imaginar uma situação em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Claro que se poderá imaginar que Sócrates não era um filósofo tornando-se a conclusão falsa, mas isso também tornará a premissa falsa. Além disso, se recorrermos a um inspector de circunstâncias constataremos que a forma lógica \((P \wedge Q) \therefore P\) é uma forma argumentativa válida. Outro exemplo: Sócrates é filósofo; logo, Platão é um habitante da Grécia. Este argumento é inválido, pois é possível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podemos, por exemplo, imaginar uma circunstância em que Platão fosse habitante de Roma – assim, a conclusão seria falsa, apesar da premissa ser verdadeira. Neste argumento a premissa não justifica de forma alguma a conclusão, sendo por isso a forma lógica \(P \therefore Q\) inválida.

Depois desta telegráfica explicação sobre a validade argumentativa dedutiva, será então válido ou inválido o argumento que conclui que Deus não existe? O argumento em análise é válido, pois não é possível imaginar qualquer situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Aliás, este é um argumento que tem a forma lógica válida de “modus tollens”: \((P \to Q), \neg Q \therefore \neg P\). Mas será que se provou de modo tão fácil que Deus não existe? É evidente que não! Pois, com a validade só afirmamos que se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa; ou seja, garantimos que a forma do argumento é correta. Mas, ainda nem sequer começamos a reflexão crítica filosófica; por exemplo, será que o conteúdo do argumento é verdadeiro? A validade lógica é apenas o ponto de partida da análise argumentativa. Por isso, ainda temos que fazer as perguntas fundamentais: Serão as premissas efetivamente verdadeiras? Será este argumento sólido? E serão as premissas mais plausíveis do que a conclusão? Ou seja, será este argumento cogente?

Noções de lógica proposicional clássica

A lógica silogística aristotélica apenas permite analisar a validade de argumentos com proposições universais e particulares que estejam dispostas em forma de silogismo. Mas isso é muito limitador uma vez que a grande maioria dos argumentos assenta em operadores proposicionais, como os seguintes: “se… então” (condicional), “se e somente se” (bicondicional), “ou” (disjunção), “e” (conjunção), “não” (negação). Ora, para testar a validade de argumentos com este tipo de operadores precisamos da lógica proposicional clássica. Este tipo de lógica remonta aos estoicos, mas desenvolveu-se muito no século XX. É designada de “clássica” para se distinguir das restantes lógicas contemporâneas, como a dos predicados e a modal. Vejamos dois argumentos que podem ser analisados quanto à sua validade com lógica proposicional mas não com lógica silogística:

Argumento 1:

  1. Se Deus existe, então não pode existir mal no mundo.
  2. Ora, existe mal no mundo.
  3. Logo, Deus não existe.

Argumento 2:

  1. Se não houver Deus, a vida deixa de ter sentido.
  2. Mas, a vida tem sentido.
  3. Logo, Deus existe.

É fácil ver o que difere estes dois argumentos: um tenta provar que Deus não existe e o outro tentar provar o contrário. Mas, o que há de comum nestes dois argumentos? Na lógica proposicional ignora-se o conteúdo específico e atende-se às operações lógicas existentes. Cada proposição elementar que constitui os argumentos é representada pelas letras \(P\), \(Q\), \(R\) e sucessivamente que se chamam variáveis proposicionais. Por exemplo, no argumento 1 o \(P\) representa a proposição elementar “Deus existe” e o \(Q\) representa “a não existência de mal no mundo”. Já no argumento 2 o \(P\) representa “Deus não existe” e o \(Q\) representa “a vida não tem sentido”. Esta tarefa é designada de dicionário. Agora tendo em conta o dicionário e se abstrairmos o conteúdo dos argumentos 1 e 2, constataremos que eles partilham a mesma forma lógica: se \(P\), então \(Q\); não \(Q\); Logo, não \(P\). Nesta forma argumentativa encontramos dois operadores verofuncionais ou conectivas proposicionais, que são o “se… então” e o “não”. É importante saber que na lógica proposicional clássica existem várias conectivas proposicionais com os seus respetivos símbolos lógicos:

Além destes símbolos pode-se utilizar o o símbolo de conclusão \(\therefore\) para substituir o “logo” ou o indicador de conclusão; e as várias proposições são separadas por vírgulas (,). Atendendo a isto, pode-se escrever os argumentos 1 e 2 na linguagem da lógica proposicional clássica da seguinte forma:

  1. \((P \to Q)\)
  2. \(\neg Q\)
  3. \(\therefore \neg P\)

Mas será esta uma forma lógica válida? Para isso temos primeiro de ver as funções de verdade expressas por cada conectiva proposicional:

Com estes princípios podem-se formar as tabelas de verdade que representam as várias conectivas proposicionais:

Negação:

\[ \begin{array}{@{ }c | c@{ }@{ }c} P & \lnot & P\\ \hline V & \color{red}{F} & V\\ F & \color{red}{V} & F\\ \end{array} \]

Conjunção

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ }} P & Q & ( & P & \wedge & Q & )\\ \hline V & V & & V & \color{red}{V} & V & \\ V & F & & V & \color{red}{F} & F & \\ F & V & & F & \color{red}{F} & V & \\ F & F & & F & \color{red}{F} & F & \\ \end{array} \]

Disjunção

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ }} P & Q & ( & P & \lor & Q & )\\ \hline V & V & & V & \color{red}{V} & V & \\ V & F & & V & \color{red}{V} & F & \\ F & V & & F & \color{red}{V} & V & \\ F & F & & F & \color{red}{F} & F & \\ \end{array} \]

Condicional

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ }} P & Q & ( & P & \rightarrow & Q & )\\ \hline V & V & & V & \color{red}{V} & V & \\ V & F & & V & \color{red}{F} & F & \\ F & V & & F & \color{red}{V} & V & \\ F & F & & F & \color{red}{V} & F & \\ \end{array} \]

Bicondicional

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ }} P & Q & ( & P & \leftrightarrow & Q & )\\ \hline V & V & & V & \color{red}{V} & V & \\ V & F & & V & \color{red}{F} & F & \\ F & V & & F & \color{red}{F} & V & \\ F & F & & F & \color{red}{V} & F & \\ \end{array} \]

Tendo em conta estas tabelas de verdade já conseguimos examinar a validade dos argumentos 1 e 2. Para isso construímos um inspetor de circunstâncias, ou seja um dispositivo gráfico com uma sequência de tabelas de verdade que mostra o valor de verdade de cada premissa e da conclusão em todas as circunstâncias possíveis. Se existir pelo menos uma circunstância em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, então o argumento é inválido. Caso contrário, o argumento é válido. Então, serão válidos ou inválidos os argumentos 1 e 2?

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ } | c@{ }@{ }c | c@{ }@{ }c} P & Q & ( & P & \rightarrow & Q & ) & \lnot & Q & \therefore \lnot & P\\ \hline V & V & & V & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{F} & V\\ V & F & & V & \color{red}{F} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{F} & V\\ F & V & & F & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{V} & F\\ F & F & & F & \color{red}{V} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{V} & F\\ \end{array} \]

Após a construção do inspetor de circunstâncias é preciso questionar: será que existe alguma circunstância, ou seja alguma linha, em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa? Se sim, o argumento é inválido. Se não, o argumento é válido. Nesta forma lógica, na quarta linha constata-se que todas as premissas são verdadeiras mas a conclusão também é verdadeira, por isso esta forma argumentativa é válida. Só seria inválido se existisse uma linha em que todas as premissas fossem verdadeiras e a conclusão falsa. Como não é esse o caso, então podemos dizer que os argumentos 1 e 2 são válidos. Aliás, estes argumentos têm a forma válida de modus tollens; ou seja, é a forma da negação da consequente.

Mas, vejamos uma outra forma lógica que, em vez de negar a consequente, afirma a consequente. Podemos escrever esta forma lógica do seguinte modo: \((P \to Q), Q \therefore P\). Será válido um argumento estruturado deste modo? Para ver isso temos novamente que recorrer a um inspetor de circunstâncias:

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ } | c | c} P & Q & ( & P & \rightarrow & Q & ) & Q & \therefore P\\ \hline V & V & & V & \color{red}{V} & V & & \color{red}{V} & \color{red}{V}\\ V & F & & V & \color{red}{F} & F & & \color{red}{F} & \color{red}{V}\\ F & V & & F & \color{red}{V} & V & & \color{red}{V} & \color{red}{F}\\ F & F & & F & \color{red}{V} & F & & \color{red}{F} & \color{red}{F}\\ \end{array} \]

Ao examinar este inspetor de circunstâncias vemos que existe uma situação em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa (na terceira linha). Portanto, esta forma argumentativa é inválida. Aliás, este tipo de forma argumentativa comete a falácia da afirmação da consequente e qualquer argumento que se faça com esta estrutura será um mau argumento, pois a conclusão não se segue das premissas. Consideremos outro argumento, que pode surgir na linguagem natural, para se determinar a sua validade:

Penso que o ensino da filosofia deve promover uma discussão crítica. Isto porque o ensino da filosofia ou promove uma discussão crítica, ou tem horror às discussões. Será um ensino que formará cidadãos críticos, criativos e autónomos caso se pretenda promover uma discussão crítica. Será um ensino que formará cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos se tiver horror às discussões. Porém, é errado formar cidadãos com estas últimas características.

Primeiro, é necessário representar canonicamente o argumento, deixando claro quais são as premissas e qual é a conclusão:

  1. O ensino da filosofia ou promove uma discussão crítica, ou tem horror às discussões.
  2. Se pretende promover uma discussão crítica, então será um ensino que formará cidadãos críticos, criativos e autónomos.
  3. Se tem horror às discussões, então será um ensino que formará cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos.
  4. Mas, é errado formar cidadãos acríticos, dogmáticos e amorfos.
  5. Logo, o ensino da filosofia deve promover uma discussão crítica.

Segundo, é preciso fazer a interpretação ou construir o dicionário que capte de modo adequado as proposições elementares presentes no argumento:

Terceiro, com este dicionário já é possível formalizar o argumento na linguagem da lógica proposicional clássica:

  1. \((P \lor Q)\)
  2. \((P \to R)\)
  3. \((Q \to S)\)
  4. \(\neg S\)
  5. \(\therefore P\)

Ou pode-se colocar na horizontal desta forma:

\((P \lor Q), (P \to R), (Q \to S), \neg S \therefore P\)

Quarto, o passo seguinte é construir um inspetor de circunstâncias. Atenção ao seguinte pormenor: as linhas dos inspetores de circunstâncias variam consoante o número de variáveis proposicionais, de acordo com a fórmula \(2^n\) (em que “n” representa o número de variáveis). Assim, se “n”=2, ficamos com 4 linhas (2x2); se “n”=3, então ficamos com 8 linhas (2x2x2); se “n”=4, ficamos com 16 linhas (2x2x2x2); se “n”=5, ficamos com 32 linhas (2x2x2x2x2); e assim sucessivamente… Com esta informação já se pode construir adequadamente o inspetor de circunstâncias:

\[ \begin{array}{@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ } | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ } | c@{}@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{ }c@{ }@{}c@{ } | c@{ }@{ }c | c} P & Q & R & S & ( & P & \lor & Q & ) & ( & P & \rightarrow & R & ) & ( & Q & \rightarrow & S & ) & \lnot & S & \therefore P\\ \hline V & V & V & V & & V & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{V}\\ V & V & V & F & & V & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{F} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{V}\\ V & V & F & V & & V & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{F} & F & & & V & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{V}\\ V & V & F & F & & V & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{F} & F & & & V & \color{red}{F} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{V}\\ V & F & V & V & & V & \color{red}{V} & F & & & V & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{V}\\ V & F & V & F & & V & \color{red}{V} & F & & & V & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{V}\\ V & F & F & V & & V & \color{red}{V} & F & & & V & \color{red}{F} & F & & & F & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{V}\\ V & F & F & F & & V & \color{red}{V} & F & & & V & \color{red}{F} & F & & & F & \color{red}{V} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{V}\\ F & V & V & V & & F & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{F}\\ F & V & V & F & & F & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & V & & & V & \color{red}{F} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{F}\\ F & V & F & V & & F & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & F & & & V & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{F}\\ F & V & F & F & & F & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & F & & & V & \color{red}{F} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{F}\\ F & F & V & V & & F & \color{red}{F} & F & & & F & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{F}\\ F & F & V & F & & F & \color{red}{F} & F & & & F & \color{red}{V} & V & & & F & \color{red}{V} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{F}\\ F & F & F & V & & F & \color{red}{F} & F & & & F & \color{red}{V} & F & & & F & \color{red}{V} & V & & \color{red}{F} & V & \color{red}{F}\\ F & F & F & F & & F & \color{red}{F} & F & & & F & \color{red}{V} & F & & & F & \color{red}{V} & F & & \color{red}{V} & F & \color{red}{F}\\ \end{array} \]

Quinto, por último resta fazer a análise do inspetor de circunstância para determinar se o argumento é válido ou inválido. O argumento que se está a examinar é válido, pois não existe qualquer circunstância (linha) em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Para aprofundar


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